A.    Penyajian Himpunan

   Definisi himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud  biasa disebut  dengan  elemen-elemen  atau  anggota-anggota dari himpunan.

   Dalam setiap pemakaian teori himpunan, semua himpunan yang ditinjau merupakan  subhimpunan  dari  sebuah  himpunan  tertentu.  Himpunan tersebut  dinamakan  himpunan  semesta  atau  himpunan  universal  dan dinyatakan dengan U.

   Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti A, B, D, dsb.  Sementara  untuk  menyatakan  setiap  elemennya  digunakan  huruf kecil seperti a, b, c, dsb. Himpunan biasanya disajikan dengan beberapa cara sebagai berikut :

1.  Enumerasi

   Setiap  anggota  himpunan  didaftarkan  secara  rinci.  Setiap  elemen dipisahkan dengan tanda koma dan ditutup dengan tanda { }. Perhatikan Contoh 1 berikut:

Contoh 1 :

-        Himpunan empat bilangan asli pertama; A = {1, 2, 3, 4}

-        Himpunan lima bilangan genap positif pertama; B = {2, 4, 6, 8, 10}.

-        R = {a, b, {a, b, c}, {a, c}}

-        C = {a, {a}, {{a}}}

   Metode  enumerasi  pada  dasarnya  digunakan  untuk  himpunan  yang terbatas dan tidak terlalu besar. Namun demikian, untuk himpunan yang besar dan jumlah elemennya tidak terbatas dapat digunakan tanda ellipsis “...”.

2.  Simbol-Simbol baku

   Beberapa  himpunan  khusus  dituliskan  dengan  simbol-simbol  yang sudah baku. Diantaranya:

P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...}

N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}

Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

3.  Notasi pembentuk himpunan

   Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh setiap anggotanya.

Notasi: { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Contoh 3.

-        A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5.

A = { x | x bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5} atau A = {x | x         ∈

P.  x < 5}

-        M = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Diskrit}.

4.  Diagram venn

   Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara ini dikenalkan oleh  matematikawan  inggris  bernama  John  Venn  pada  tahun  1881. Perhatikan Contoh 4 berikut:

Contoh 4.

Misalkan U = {1, 2, ..., 8}

A = {1, 2, 3, 5}

B = {2, 5, 6, 8}

Diagram venn-nya adalah :

Gambar 1

2.  Kardinalitas dan Jenis-Jenis Himpunan

   Definisi sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat         n          elemen berbeda, dengan        n bilangan bulat positif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak-berhingga (infinite set).

   Misalkan  A  merupakan  himpunan  berhingga,  maka  jumlah  elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A, dinotasikan dengan n(A) atau |A|. Perhatikan kembali Contoh 1.

-        A = {1, 2, 3, 4}. Maka  n(A) = 4, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah 1, 2, 3, 4.

-        B = {2, 4, 6, 8, 10}. Maka n(B) = 5, dengan elemen-elemen (yang berbeda) adalah 2, 4, 5, 8, 10.

-       R = {a, b, {a, b, c}, {a, c}}. Maka n(R) = 4, dengan elemen-elemen (yang berbeda) adalah a, b, {a, b, c}, {a, c}. 

-        C  =  {a,  {a},  {{a}}}.  Maka  n(C)  =  3,  dengan  elemen-elemen  (yang berbeda) adalah a, {a}, {{a}}. 

Himpunan tak behingga mempunyai kardinal tak berhingga pula. Sebagai contoh himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tak berhingga

maka n(R) = ∞.

Beberapa istilah yang ditemukan dalam konsep himpunan diantaranya:

1.  Himpunan kosong
       Definisi himpunan  kosong  adalah  himpunan  yang  tidak  memiliki  elemen,  atau dengan kata lain kardinalitasnya sama dengan 0. Himpunan kosong biasa dinotasikan dengan { } atau ∅. Perhatikan Contoh berikut:Contoh :
   ∅ = {x | x ≠ x}, ∅ = {orang indonesia yang pernah ke bulan} 
2. Himpunan bagian (Subset)
   Definisi himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, A            ⊆ B, jika dan hanya jika setiap elemen di A merupakan elemen di B. Pada Definisi 4, A disebut subset dari B atau B adalah superset dari A. Contoh 6.Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka A ⊆ B.Misalkan K = {a, b, c}, L = {b, c, a}, maka K ⊆ L dan L ⊆ K. Atau dengan kata lain A = B. Perhatikan bahwa A ⊆ B tidak sama dengan  A ⊂ B. A ⊆ B berarti bahwa A adalah subset dari B dan memungkinkan A = B. Sedangkan A ⊂ B berarti bahwa A adalah subset dari B tetapi A ≠ B. Jika A   ⊆ B maka A ⊂ B dan A = BJika A   ⊂ B maka A ⊂ B dan A ≠ B
3. Himpunan yang sama
       Definisi dua buah himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika setiap elemen di A juga elemen di B dan setiap elemen di B juga elemen di A. Atau dengan katalain A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.Contoh :  Jika A = {0, 1} dan B = {x | x(x – 1) = 0}, maka A = B, Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 1, 4, 2}, maka A ⊆ B dan B      ⊆ A sehingga A = B = {1, 2, 3, 4}.
   
4. Himpunan bersifat Ekivalen    Definisi himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal     dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi: A ≈ B       ⟺ n(A) = n(B). misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}. Maka A    ≈ B karena n(A) = n(B) = 4.
   
5. Himpunan saling lepas (disjoint)
        Definisi dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau disjoint (notasi: A // B) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Contoh 10.
   Jika A = {x | x ∈ P, x < 8} dan B = {10, 20, 30, ...}, maka A // B.
   
6. Himpunan kuasa (power set)
        Definisi himpunan kuasa atau power set dari himpunan A adalah suatu himpunan yang  elemennya  merupakan  semua  himpunan  bagian  A  termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi: P(A) = {X | X ⊆ A}.Contoh :

?  Misalkan A = {a}, maka P(A) = {∅, {a}}.

?  Misalkan B = {a, b}, maka P(B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

Secara umum, jika n(A) = x, dengan A suatu himpunan, maka n(P(A)) = 2x. 

3.  Operasi Himpunan

   Operasi  terhadap  himpunan  akan  menghasilkan  suatu  himpunan  baru. Operasi dasar yang biasa digunakan adalah operasi irisan (intersection), gabungan  (union),  komplemen,  selisih  (difference),  perkalian  kartesian (cartesian product), dan beda-setangkup (symmetric difference). 

1. Irisan (intersection)
       Definisi irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.Notasi :  A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.Diagram Venn:

Gambar 2

              2. Gabungan (union)

   Definisi gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang

setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A atau himpunan B.

Notasi :  A ∪ B = {x | x     ∈ A atau x ∈ B}. ∎

Diagram Venn:

Gambar 3

3.       Selisih (difference)

Definisi selisih  dari  dua  himpunan  A  dan  B  adalah  suatu  himpunan  yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B.
Notasi: A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} = A ∩  B

Diagram Venn :

Gambar 4

4.      Perkalian Kartesian (cartesian product)

Definisi perkalian  kartesian  dari  himpunan  A  dan  B  adalah  himpunan  yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan

Notasi: A x B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}.

P = {1, 2, 3} dan Q = {a, b}. maka P x Q = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3,

a), (3, b)}.

Perhatikan bahwa:

?  Jika A dan B berhingga maka n(A x B) = n(A) x n(B).

?  Pasangan berurutan (a, b) ≠ (b, a). Dengan kata lain A x B ≠ B x A, asalkan A atau B tidak kosong.

?  Jika A = ∅ atau B = ∅ maka A x B = B x A = ∅.

5.  Beda-Setangkup (symmetric difference)

Definisi beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A   ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A).